물체의 회전은 초당 몇라디안을 움직이는가와 같은 각속도로 표현이 되나, 유체의 회전의 경우에는 소용돌이도와 순환이라는 것을 도입한다. 순환과 소용돌이도는 유체 회전의 두가지 중요한 측도이다. 순환은 스칼라 적분량으로 유체의 유한면적에 대한 회전의 거시적 측도이며, 소용돌이도는 유체 내의 어느 점에서의 회전의 미시적 측도의 벡터장이다. 흔히 강체에서 생각하는 각속도의 개념과는 다른, 유체에서의 [회전]을 나타내는 어떤 물리량이라고 보는 것이 합리적이라고 본다.
먼저 순환의 정의는 유체내의 폐곡선에 대한 국지적 접선 방향의 속도 벡터 성분에 대한 선적분이다.
쉽게말해 어떤 폐곡선을 가정했을때 그 곡선을 계속 따라가면서 해당위치에서의 속도와 그 속도가 유지되는 길이를 곱한값을 다 더한것이다. 만약 원모양의 곡선을 가정했고 해당 원을 유체가 v라는 등속으로 원운동한다면 이 원의 순환은 2πRV이다. 그런데 V는 Rω로 표현할수 있으므로 순환은 2ωπR^2이된다. 즉, C=2ωπR^2이며, 2ω=C/πR^2. 이처럼 순환은 각속도를 쉽게 정의할 수 없는 유체회선의 특징을 결정하는데 쓰인다.
이에대한 접근을 하기위해 첫 정의에 스토크스의 정리를 적용한다.
소용돌이도는 그자체로서 어떤 값을 가지나, 우리가 회전하는 지구라는곳 위에서 생활하고 있기때문에 지구의 움직임에 의해 나타나는 것과 실제 우리 눈에 보이는 움직임의 것을 고려해줘야 한다. 전자의 경우를 행성소용돌이도, 후자의 경우를 상대소용돌이도라 한다. 둘을 합친 소용돌이를 절대소용돌이도라 한다. 이 절대소용돌이도는 위에서 이야기 했듯 순압유체에서 보존되는 값이다. 먼저 행성소용돌이도는 위의 원판의 경우에서 2ω라고 유도를 했으나 지구의 경우 구체라서 이것이 그대로 받아들여지려면 북극의경우만 한정되어야 한다. 즉, 위도별로 해당지역에 맞는 소용돌이도가 되기 위해서는 2ωsinΦ가 되어야한다. 이는 f라고 불리는 코리올리인자를 말한다. 즉, f가 행성소용돌이도가 된다. 상대소용돌이도는 ζ로 표현되는데 지표에대한 회전이라고 보면된다.
소용돌이도의 방향은 +(양)의 경우 저기압성 회전, -(음)의 경우 고기압성회전을 보인다. 즉, 대규모의 양의 소용돌이 지역은 저기압성 폭풍우와 연관되어 발달하는 경향이 있다. 즉, 상대소용돌이도의 분포는 기상분석을 위한 강력한 진단자이다. 절대 소용돌이도는 중층 대류권 운동에서 보존된다. 이러한 보존성은 간단한 역학 예보 기술의 기초가 된다. 자연좌표에서 소용돌이도는 약간의 차이가 있는데 이는 -∂V/∂n + V/R로 표현된다. 앞의 항은 시어소용돌이도이며 뒤의 것은 곡률 소용돌이도이다. 유체가 지나는 관이 오른쪽으로 휘어져있다고 가정할때, 유체의 왼쪽으로 갈수록 속도가 느려진다면 곡률과 시어가 반대 방향이 되어 이 전체 소용돌이도는 0이라고 볼수있다. 순환으로부터 소용돌이도 방정식을 구할 수 있는데, 이를 유도하면 아래와 같다.
C=ZA=일정. AdZ+ZdA=0, dZ+ZdA/A=0, dZ/dt+Z(dA/dt)A=0, dZ/dt+ZdivV=0. 번외로 면적에대한 소용돌이도의 이중적분은 순환이라 표현되지만, 면적에 대한 발산은 플럭스라 표현된다.
연속방정식은 질량보존법칙의 다른형태라고 볼수있다. 들어온양과 나간양의 차이를 계산해보면 같아야 한다는 것이다. 당연히 이는 대기 흐름이 비압축성이라는 전제를 깔고 시작된다. 이 연속방정식을 이용하면 상승류의 진단을 할수있다. 왜냐하면 수평으로 들어온양보다 수평으로 나간양이 적으면 그것은 위쪽 혹은 아래로 이동했다는 것을 뜻하기 때문이다.
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