자연과학

기체가 단열적(바깥과 열에너지의 출입 없는)으로 변화하는 경우 온도, 압력, 비부피와의 관계를 기체의 단열변화에 대한 포아송식이라 한다. 단위질량의 기체에 대한 열역학 1법칙은 dq=CpdT-αdp이다. T,α,p는 온도 비부피 압력이며, Cp는 정압비열이다. dq는 단위질량의 기체에 가해진 열에너지이다. 단열변화의 경우 dq단위빌량의 기체에 가해진 열에너지는 0이 된다. 즉, 0=CpdT-αdp이다. 여기서 기체방정식 pα = RT의 α=RT/p 를 위의 열역학1법칙 식에 대입하면 CpdT=RT(dp/p)가 된다. 여기서 T로 나눠주면 Cp(dT/T)=R(dp/p)인데 여기서 R/Cp를 간단하게 x라 표현하기도 한다. 또 dT/T, dp/p를 변환하면 d(lnT), d(lnp)로 바꿔서 쓸수 있다. 즉, 정리하면 d(lnT) = d(lnp^x) 인 것이다. 양변에 인테그랄을 취해주고 e^를 첨가해주면 T=p^x가 된다. 정리하면 Tp^-x=K이다. 이것은 T와 p만의 관계인데 p와 α와의 관계를 얻으려면 pα=RT 를 T에 대입해준다. (pα/R)p^-x=K이다. R을 소거해주고 정리하면 αp^(1-R/Cp)=K이다. 위 지수부분만 정리하면 1-R/Cp = (Cp-R)/Cp = Cv/Cp 이다. 그런데 이것의 역수인 Cp/Cv를 Υ라 표현한다. 즉, 다시 정리하면 pα^Υ=K으로 정리되는 것이다. 그렇다면 마지막 남은 T와 α와의 관계에대한 식을 구해보려면 pα=RT를 pα^Υ=K에 대입해야한다. (RT/α)α^Υ=K 이므로 Tα^(Υ-1)이다. 정리하자면 Tp^-x=K,  pα^Υ=K,  Tα^(Υ-1)=K 세가지 형태가 된다. 이것이 바로 단열변화에 대한 포아송 식이다. x값은 무차원이며 0.286, Υ값은 무차원이며 1.4값, Υ-1값은 무차원이며 0.4값을 갖는다. 

이 포아송식으로부터 온위의 식을 구할수 있다. 기상에서의 온위는 "어떤 고도의 건조 공기덩이를 1000 hPa의 기압고도로 단열적으로 이동시켰을 때 갖는 온도"로 정의된다. 즉 단열적으로 이동시킨다는 점에서 포아송식으로 활용하면, 이 온위의 식을 구할수 있는 것이다. 먼저 단열변화시에 1000hpa 지상의 값을 Θ(1000)^-x 이라하고 상층의 온위를 구하고자 하는 고도의 건조공기의 온도와 압력을 Tp^-x라 하자. 이것은 변하지 않는 값이므로 둘사이에 등호가 성립될 수 있다. 즉,  Θ(1000)^-x = Tp^-x 인 것이다. 온위인 Θ에 관해 정리해주면 Θ=T(1000/p)^x 이다. 이것이 바로 온위의 관계식이 된다. 직접 계산을 해보도록 하자. 500hpa에 있는 공기의 온도가 0도 일때, 이공기의 온위는 몇일까? 0도를 절대온도 273K로 바꿔주고, 계산해보면 Θ=273(2)^0.286 = 333K 이다.  즉, 온위는 대략 60도가 된다. 이 온위 식으로 아주 여러가지 응용을 할 수있는데 그 한가지는 실제기온감율과 건조기온감율의 비교를 통해 안정도를 판별할 수있는 식을 유도 할수있다는 것이다. Θ(1000)^-x = Tp^-x 에 ln을 취하면 lnΘ + C = lnT -x lnp 이다. 이 식을 미분하면 dΘ/Θ = dT/T - xdp/p 이다. 여기서 dp에 정역학평형식 dp = -ρgdz를 대입해보면, dΘ/Θ = dT/T + x(ρgdz)/p 이다. 그런데 p를 ρRT로 쓸수 있으므로 다시 정리하면  dΘ/Θ = dT/T + (g/Cp)(dz/T) 양변에 (T/dz)를 곱해주면 (T/Θ)dΘ/dz= dT/dz + g/Cp 이다. -dT/dz 가 실제 기온의 감율로 볼수있다. 다시 정리하면  (T/Θ)dΘ/dz = (Γd-Γ)이다. dΘ/dz가 양수인 경우는 Γd-Γ>0 인경우인데 건조기온감율이 실제기온감율보다 큰경우이다. 따라서 이경우는 안정이다. 안정한경우 고도에 따라 온위가 증가함을 알 수있다. dΘ/dz가 음수인 경우는 Γd-Γ<0 인경우인데 건조기온감율이 실제기온감율보다 작은경우이다. 따라서 이경우는 불안정이다. 

직교좌표에서도 기온의 단열변화와 관련된 식을 유도할 수있다. 단열변화에서 기압의 변화를 열역학평형식을 써서 상승기류 w로 표현하고, 기온의 시간편미분을 구하는 식이다. 먼저 열역학 1법칙에서 CpdT - αdp=0 이다. 이로부터 dT/dt- (α/Cp)(dp/dt) = dT/dt - (α/Cp)(dp/dz)(dz/dt) 로 쓸수 있다. dz/dt=w로 정의된다. 또한 dp/dz = -ρg 이다. 정리하면 dT/dz + (g/Cp)w = dT/dt + wΓd =0 인것이다. 이를 오일러 식으로 표현하면 ∂T/∂t + v*∇(수평)T + w(∂T/∂z) + wΓd =0이다. Γ=-dT/dz 이므로, 정리하면 ∂T/∂t = -v*∇(수평)T - w(Γd-Γ) 이다.  v*∇(수평)T을 온도의 수평이류항이라 한다. -v*∇(수평)T>0이면 온난이류,  -v*∇(수평)T<0이면 한랭이류이다. 

다음으로 기체의 엔트로피와 온위에대해 알아보겟다. 엔트로피는 dS = dQ/T 로 정의된다. 즉, dS = Cp(dT/T) - R(dp/p) = d(ln(T^Cp)(p^-R)) = Cp(dlnΘ)가 된다. 이식으로 볼때 단열과정에서 S는 보존되는 것을 알수있다. 또 일반적으로 가역변화에서는 엔트로피 S는 보존된다. 그러나 열전도와 열확산등의 비가역 변화에서는 S는 증가한다. 이것을 열역학2법칙이라 한다. 

단열변화시 건조기온이 얼마나 감소하는지 알아보자. 일단 앞서 서술한 열역학 1법칙과 정역학평형식을 결합한다. 두식 dq=CpdT-αdp , dp=-ρgdz 를 결합하면 dq=CpdT+gdz 인데 단열변화이므로 dq=0이다. 즉, 식을 정리하면 -dT/dz = g/Cp 이다. 그리고 -dT/dz = γd 라고 하는데 이것이 바로 건조기온 감율이다. 대류권에서 보통 -10도/km 이다. 이를 통해 상승응결고도를 구할수 있는데, 이것은 이슬점 감율이 구해져야만 한다. 이슬점 감율은 건조단열감율보다 구하는 과정이 어렵다. 역시 뭔가 습기가 관련되어있다면 어렵다는 앞서의 내용이 여기서 드러나는 것이다. 이슬점온도는 불포화공기의 수증기압을 포화수증기압으로 고려했을 때의 공기의 온도이다. 이 관계를 수증기압과 이슬점온도와의 관계식으로 파악할 수 있다. 이슬점 온도에 관한 식 e=esw(Td)를 고도 z로 미분하면 de/dz = (desw/dT)(dT/dz) 여기서 dT/dz만 놓고 넘기면 dT/dz= (desw/dz)/(desw/dTd) 여기의 dT/dz는 고도에 따라 감소하는 음(-)의 값을 가진다는 것을 알 수 있는데, 고도증가에 따른 온도감소로 esw값이 감소하여, desw/dz값이 음이 되기 때문이다. 말을 이어가기 전에 혼합비에 대해 알아둬야 하는데 혼합비는 주어진 대기의 체적에 포함된 건조공기의 질량에 대한 수증기 질량의비를 말한다. 혼합비w = mv/md = ρv/ρd 인것이다. 상태방정식의 관계를 이용하면 w = (e/pd)(Rd/Rv) 인데 여기서 Rd/Rv = Mv/Md 이다. 따라서 0.622 값을 갖게되며, ε로 표현한다. 결과적으로 w = ε(e/(p-e)) 로 표현되는 것이다. 여기에서 e로 정리를 하게되면 e=(w/(w+ε))p 이를 z에 대해 미분하면 desw/dz=(w/(w+ε))(dp/dz)=(esw/p)(dp/dz)가 되는것이다. 위의 dT/dz 식과 적절히 결합하면 (1/esw)(desw/dTd)(dTd/dz) = (1/p)(dp/dz)가 된다. 

앞의 (1/esw)(desw/dTd)는 클라우시스 클레이페론 식을 이용할건데 일단 그 C-C방정식에 대해 알아보면 깁스 상에너지 변화에서 유도 된다. 깁스 에너지는 G=H-TS 로 표현된다. 헬름홀츠 에너지는 F=U-TS로 표현된다. 헬름홀츠 에너지에 PV를 더해주면 F+PV가 되는데 이것이 다시 깁스에너지가 된다. G=F+PV = U-TS+PV = H-TS 가 된다. 상변화의 경우에는 상과 상사이의 경계에서 G1=G2 또는 dG1=dG2 가 성립해야 한다. 즉, 상1과 상2의 깁스에너지가 같거나 그 변화가 같아야 한다는 뜻이다.  g=U+PV-TS를 미분하면 dg = dU+pdV+Vdp-Tds-sdT 인데 dU+pdV = dQ이고 -Tds=dQ (엔트로피)이므로 남는 것을 취하면 dg = -sdT + Vdp이다. dg1=dg2 이므로 -s1dT+α1dp=-s2dT+α2dp. 즉, dp/dT = (s2-s1)/(α2-α1) = △s/(α2-α1) 이다. △s=△h/T = L/T가 된다. dp/dT = L/T(α2-α1)가 된다. 이것이바로 클라우시스 클레이페론 식이다. 여기서 p를 e로 바꿔준다면 desw/dT = L/T(αv-αw)이다. 그러나 αv>>αw 이며 αv=RvT/esw 인것을 생각해보면 desw/dT = (esw/T^2)(Lwv/Rv) 이다. 이것은 윗단락 마지막 식의 일부와 비슷하다 그 식과 합쳐보면 L/(RvTd^2)(dTd/dz)=(1/p)(dp/dz)이다. 그런데 여기에 정역학평형식까지 적용을 한다면 (1/p)(dp/dz)=-g/(RdT) 이다. 즉 이슬점감율을 -dTd/dz = (g/εL)(Td^2/T) 이다. 그런데 g/εL은 온도에 거의 무관하며 6.3*10^-6/m 값을 갖는다. Td^2/T는 온도값에 의존하긴 하지만 대류권에서 그 차이는 작다. 즉, 대략 T의 스케일이므로 300K을 곱해주면 된다. 즉, 이슬점 감율은 1.7~1.9도/km가 된다. 그러나 대부분 시험에서는 2도정도로 근사한다. 

위의 두개를 통해 상승응결고도를 알아보자. T-γZ=Td-γdZ 이다. Z에대해 정리하면 Z(γ-γd)=T-Td 이다. 1/(γ-γd)는 125m/도 라는 값을 갖게 되는데, 이를 정리하면 Z=125(T-Td)가 된다. 이 계산에서 나온 고도로 올라갈때야 비로소 지표에서 올라간 수증기가 응결되는 것이다. 

기체의 상태방정식은 기체의 압력 부피 밀도 온도등 여러가지 정보들의 관계를 의미있는 식의 형태로 나타낸 것이다. 일단 여기서 다룰 내용은 습윤공기가 아닌 건조공기의 내용이다. 대기에서의 수증기는 꽤 많은 의미를 갖는다. 물이 되면 비로 바뀌고 예보에도 중요한 요소가 된다. 그런데 이 수증기의 존재는 대기에서 일정하게 분포하지도 않으며 여러차이가 있고 열 전달에 용이하기 때문에 열역학 계산에서 매우 복잡한 모습을 보인다. 수증기의 함유 혹은 비함유 여부에 따라 열역학의 식들이 매우 다른 형태를 보인다. 쓸데없이 사족이 길었는데 일단은 기체의 상태방정식에 대해서 알아보도록 하겠다.  

고등학교의 화학2 시간에 이상기체상태방저식에 대해서 배운다. 이것은 pV=nR*T의 형태이다. 여기서 n은 몰수라는 것인데, 1몰이란 기체가 아보가드로수(6.02*10^23)만큼의 개수를 가질때 1몰이라 한다. 평소에 잘 쓰이는 단위는 아니고 화학에서 즐겨 쓰인다. 이 몰수는 질량/분자량 으로 표현될수 있다. 왜냐면 분자량이 기체가 아보가드로수만큼 있을때의 질량을 의미하기 때문이다. 다시 쓰면, pV=(m/M)R*T 인것이다. 여기서 대기과학에서는 보편기체상수 R*보다는 비기체상수 R을 자주 쓴다. 비기체상수는 특정 기체에 대한 기체상수이다. R=R*/M 이다. 또 m/V는 밀도이기때문에 ρ를 쓰기도 한다. 즉, p=ρRT로 간단하게 쓸수도 있다. 사실 이 식의 관계를 완전히 만족하는 가상적인 기체를 이상기체라고 한다. 실제기체는 완전하게 이 관계를 만족하지는 않으나 기상현상을 설명하는 범위에서는 충분한 정확도로 만족한다. 즉, 공기를 그냥 이상기체라고 취급할수 있다. 번외로 pV=NkT라고 쓰는 경우도 있는데 이는 볼츠만 상수k를 쓴경우이다. 그런데 대기과학에서는 p=ρRT가 제일 보편적으로 잘쓰인다. 다음으로 혼합기체상수를 구하는법을 알아보겠다. 사실 공기는 여러기체의 혼합기체이다. 따라서 평균분자량을 구해야 정확한 혼합기체상수를 구할수 있다. 평균분자량은 ∑m/(∑m/M) 이렇게 구한다. 건조공기의 분자량은 대략 28.97정도이며 건조공기의 기체상수는 287J/K/kg 이다. 습윤공기의 기체상수는 가온도를 구하는 것과 비슷한 과정을 거치는데, 가온도식 자체가 RdTv=RwT로부터 논의가 시작되므로 여기서 Rd/Rw = T/Tv 이기때문에 어차피 구하는 과정이 같아지는 것이다. 어쨌든 가온도식은 Tv=T(1+0.61q) 인데 여기서 아까 식에 의해 Rw=Rd(1+0.61q)가 되는 것이다. 따라서 해당 Rw는 측정하고자 하는 1kg의 공기속에 얼마나 많은 수증기가 들어있는지 여부에 따라 결정되는 것이다. 

다음으로 열역학 1법칙에 대해 알아보도록 하겠다. 열역학 1법칙은 에너지의 보존에관한 식이다. 열에너지가 사라지는 것이 아니며 일로 변환된다는 내용을 담고있다. 즉, 단위질량의 기체에 가해진 열에너지는 내부에너지의 증가(CvdT)와 기체의 체적증가에 따른 일에 사용된 에너지의 합과 같다. 그것의 결론부터 말하자면 dQ=CvdT+pdV, dQ=CpdT-Vdp 가된다. 원래 열역학 1법칙의 형태는 dQ=du+dw이다.  du는 내부에너지의 증가, dw는 일에 사용된 에너지이다. 내부에너지는 그 물질을 구성하는 분자와 원자의 운동에너지의 합이고, 절대온도에 비례하므로 du=CdT로 쓴다. C는 비열인데 Cv는 정적비열 Cp를 정압비열이라 한다. 크기는 Cp가 더크다. 왜냐하면 정적일때보다 정압일때 부피의 증가대문에 온도상승에 대한 필요에너지가 더 크기 때문이다. dw는 pdV의 형태로 쓰는데 이것의 차원은 [Force*Length]로 일의 양을 뜻한다. 

단위질량일때 pV=RT방정식에서 미분을 하면 pdV+Vdp=RdT의 형태가 된다. 또, pdV=RdT-Vdp가 구해진다. 이것을 대입하면 dQ=(Cv+R)dT - Vdp의 형태가 된다. 만약 정압일경우 (dp=0) dQ=(Cv+R)dT=CpdT가 된다. 따라서 Cv+R=Cp라는 결론을 내리게 된다.

물체의 회전은 초당 몇라디안을 움직이는가와 같은 각속도로 표현이 되나, 유체의 회전의 경우에는 소용돌이도와 순환이라는 것을 도입한다. 순환과 소용돌이도는 유체 회전의 두가지 중요한 측도이다. 순환은 스칼라 적분량으로 유체의 유한면적에 대한 회전의 거시적 측도이며, 소용돌이도는 유체 내의 어느 점에서의 회전의 미시적 측도의 벡터장이다. 흔히 강체에서 생각하는 각속도의 개념과는 다른, 유체에서의 [회전]을 나타내는 어떤 물리량이라고 보는 것이 합리적이라고 본다. 

먼저 순환의 정의는 유체내의 폐곡선에 대한 국지적 접선 방향의 속도 벡터 성분에 대한 선적분이다.

쉽게말해 어떤 폐곡선을 가정했을때 그 곡선을 계속 따라가면서 해당위치에서의 속도와 그 속도가 유지되는 길이를 곱한값을 다 더한것이다. 만약 원모양의 곡선을 가정했고 해당 원을 유체가 v라는 등속으로 원운동한다면 이 원의 순환은 2πRV이다. 그런데 V는 Rω로 표현할수 있으므로 순환은 2ωπR^2이된다. 즉, C=2ωπR^2이며, 2ω=C/πR^2. 이처럼 순환은 각속도를 쉽게 정의할 수 없는 유체회선의 특징을 결정하는데 쓰인다. 

방금 유도한 이식으로 부터 우리는 순환/면적이 어떤 의미있는 양을 도출할수도 있을거란 생각을 할수 있다. 

이에대한 접근을 하기위해 첫 정의에 스토크스의 정리를 적용한다. 

이 식에 의해 ∇xV = C/A라고 정의할수 있게되며, 여기서 ∇xV가 소용돌이도가 된다. 이러한 순환은 DC/Dt로부터 나타나는 솔레노이드항을 유도할수 있는데 순압유체에서의 밀도는 기압의 함수이므로, 솔레노이드항이 0이다. 따라서 순압유체에서 절대순환이 보존된다. 유체의 이결과는 강체의 각운동량에 해당되는 것이다. 

소용돌이도는 그자체로서 어떤 값을 가지나, 우리가 회전하는 지구라는곳 위에서 생활하고 있기때문에 지구의 움직임에 의해 나타나는 것과 실제 우리 눈에 보이는 움직임의 것을 고려해줘야 한다. 전자의 경우를 행성소용돌이도, 후자의 경우를 상대소용돌이도라 한다. 둘을 합친 소용돌이를 절대소용돌이도라 한다. 이 절대소용돌이도는 위에서 이야기 했듯 순압유체에서 보존되는 값이다. 먼저 행성소용돌이도는 위의 원판의 경우에서 2ω라고 유도를 했으나 지구의 경우 구체라서 이것이 그대로 받아들여지려면 북극의경우만 한정되어야 한다. 즉, 위도별로 해당지역에 맞는 소용돌이도가 되기 위해서는 2ωsinΦ가 되어야한다. 이는 f라고 불리는 코리올리인자를 말한다. 즉, f가 행성소용돌이도가 된다. 상대소용돌이도는 ζ로 표현되는데 지표에대한 회전이라고 보면된다. 

소용돌이도의 방향은 +(양)의 경우 저기압성 회전, -(음)의 경우 고기압성회전을 보인다. 즉, 대규모의 양의 소용돌이 지역은 저기압성 폭풍우와 연관되어 발달하는 경향이 있다. 즉, 상대소용돌이도의 분포는 기상분석을 위한 강력한 진단자이다. 절대 소용돌이도는 중층 대류권 운동에서 보존된다. 이러한 보존성은 간단한 역학 예보 기술의 기초가 된다. 자연좌표에서 소용돌이도는 약간의 차이가 있는데 이는 -∂V/∂n + V/R로 표현된다. 앞의 항은 시어소용돌이도이며 뒤의 것은 곡률 소용돌이도이다. 유체가 지나는 관이 오른쪽으로 휘어져있다고 가정할때, 유체의 왼쪽으로 갈수록 속도가 느려진다면 곡률과 시어가 반대 방향이 되어 이 전체 소용돌이도는 0이라고 볼수있다. 순환으로부터 소용돌이도 방정식을 구할 수 있는데, 이를 유도하면 아래와 같다. 

C=ZA=일정. AdZ+ZdA=0, dZ+ZdA/A=0, dZ/dt+Z(dA/dt)A=0, dZ/dt+ZdivV=0. 번외로 면적에대한 소용돌이도의 이중적분은 순환이라 표현되지만, 면적에 대한 발산은 플럭스라 표현된다. 

연속방정식은 질량보존법칙의 다른형태라고 볼수있다. 들어온양과 나간양의 차이를 계산해보면 같아야 한다는 것이다. 당연히 이는 대기 흐름이 비압축성이라는 전제를 깔고 시작된다. 이 연속방정식을 이용하면 상승류의 진단을 할수있다. 왜냐하면 수평으로 들어온양보다 수평으로 나간양이 적으면 그것은 위쪽 혹은 아래로 이동했다는 것을 뜻하기 때문이다. 

연속방정식의 형태는 다이버젼스V = 0의 형태이다. 이 식의 유도는 오일러리안적인 방법과 라그랑지안적인 방법이 있는데 오일러식은 공간의 어떤 절대적인 공간에서 유체의 유입과 유출을 따진다. 라그랑지안은 관찰대상인 유체를 따라가는 방법이다. 유체의 흐름을 따라서 유체가 보존된다는 방법이다. 

경도풍은 등압선과 평행하게 운동하는 것은 지균풍과 같으나 등압선이 원형이라는 점이 지균풍과 다르다. 등압선이 원형이므로 생겨나는 필연적인 원심력을 고려해야만 한다. 경도풍은 태풍과 같은 동심원상의 원형 등압선을 생각하면 쉽다. 물론 이 바람은 지균풍과 마찬가지로 가상의 바람이다. 식은 처음 지균풍 운동방정식에서 원심력항이 추가되기만 하면 된다. 

(R: 동경방향의 거리)

R은 원래 스칼라 값으로 부호가 없어야 정상이다. 그러나 R이라는 값은 자연좌표계의 n방향성분의 스칼라값인점과 좌,우항의 변동에서 생겨나는 -, +부호가 n방향축에서 방향을 의미한다는 점을 고려할때 R값에는 부호가 있음이 바람직하다. 즉. 저기압성 R은 +(양), 고기압성R은 -(음)이 된다. 위의 식은 저기압성 R의 부호가 +인 경우에 적용되는 식이다. 만약 고기압성 경도풍의 경우 원심력항의 부호가 +가 되면 된다. 

위의 경도풍식은 자세히 관찰하면 V2, V 라는 미지수가 있는 것으로 유추할때 V에 대한 2차방정식이란것을 알수 있다. 즉, 이 식을 근해 공식으로 풀으면 V라는 값이 나올것이고 그것이 경도풍속이 되는 것이다. 

각종 시험을 준비중이라면 이 경도풍속에 관한 식정도는 암기를 하는게 좋다. 이 식에서 V는 음수를 가질수 없기때문에 수학적으로 가능한 모든 경우의수가 모두 과학적으로 의미를 갖는 것은 아니다. 일단 R이 +인 경우를 생각하면 우변의 +-의 근을 선택할때 +를 선택해야만 한다. -를 선택할경우 우변모두 -가 되므로 비물리적인 식이된다. R이 -인경우 우변의 +-의 근이 어떤것이 되어도 상관이 없으나 +인 경우 V가 무조건 -(fR/2) 보다 커야한다는 이상한 고기압이 되어버린다. 따라서 -근을 택하는 것이 정상 고기압흐름을 만든다. 여러상황을 종합하면 비물리적인 경우를 제외하고 이상저기압, 이상고기압, 정상저기압, 정상고기압 네개의 경우를 찾을 수 있다. 이중에 정상저기압을 제외한 세가지 상황이 전부 시계방향의 흐름을 보인다는 것이 특이한 점이다. 세가지 힘의 평형관계에서 어느쪽이든 원심력이 큰 경우를 보이는 경우가 [이상]이라는 수식어를 붙인다. 사이클론성 흐름의 판단기준은 fR의 부호이다. fR의 부호가 양수인경우 사이클론성흐름, fR의 부호가 음수인 경우 안티사이클론성흐름을 보인다. 이는 어느 반구이든 조건은 같다. 

지균풍과 경도풍의 크기를 비교하는 내용이 중요하게 다뤄지는데, 그것을 알아보도록 하겠다. 경도풍식을 지균풍을 넣어서 표현하면 아래와 같다. 

거기서 V로 나눠주고 식을 정리하면, 위와같은 식이 된다. 정상적인 저기압성 흐름(fR>0)인 경우 Vg는 V보다 더 큰 반면, 정상적인 고기압성흐름(fR<0)인 경우 Vg는 V보다 작다. 그러므로 기압경도력이 같은 상황에서 지균풍은 저기압성 경도풍보단 크고, 고기압성 경도풍보다는 작다. 또한 고기압성 경도풍은 속도의 제한이 걸리는데 이는 루트안의 식을 정리하면 R이 작아질때 기압경도력도 작아져야한다는 결론이 나오기 때문이다. 고기압부근에서 절대적인 바람의 속도가 작은 이유는 여기에 있다. 

다음으로 관성풍을 알아보도록 하겠다. 관성류는 기압경도력과 같은 외력이 작용하지 않는 경우, 전향력과 원심력이 평형을 이룬 상태에서 운동을 하는 것을 말한다. 

 이러한 식이 성립되는데 관성류는 북반구에서는 전향력의 영향으로 시계방향, 남반구에서는 반시계방향을 나타낸다. 즉, 북반구에서 R은 음수를 나타낸다. 이러한 것을 바탕으로 식을 정리하면, 

이된다. 오메가는 지구의 자전각속도이다. 1/ΩsinΦ 이 해당위도의 푸코진자의 주기이므로 관성주기는 푸코진자 주기의 1/2배라고 말할수 있다. 이와 같은 관성진동은 종종 해양에서 실제로 관측된다. 

다음으로 선형풍을 알아보도록 하겠다. 선형풍은 경도풍관계에서 전향력항이 빠진것이다. 즉, 토네이도와 같이 강한 저기압에서 유발되는 평형상태에 있는 가상적인 바람을 말한다. 전향력은 작은 규모에서는 큰 효과가없다. 즉, 이 선형풍은 매우 좁은 지역에서 발생되는 원형의 바람이라고 볼수 있다. 경도풍식에서 전향력만 제외하면 되므로 식은 생략하겠다. 다만 이 선형풍의 경우는 V가 양이나 음이 되더라도 V^2으로서 평형이 되므로 고기압성, 저기압성 어느 쪽의 순환이라도 평형 상태가 될 수 있다. 

지균풍의 정의는 두산백과의 글을 인용하여 쓰면 "지구의 자전으로 인한 전향력과 기압경도력이 균형이 잡혔을 때 부는 바람으로 지형풍이라고도 한다. 실제의 바람이 지균풍과 어느 정도 차이를 보이는가는 일기변화를 고찰하는 데 중요한 요건이 된다."입니다. 그러나 여기에 첨언을 하자면 마찰력이 없는 상태여야 한다는 점입니다. 또 기압의 수평분포는 주어져야 도출이 가능한 양입니다. 대규모장의 풍속분포를 기압분포에 의해 표현하는 식으로도 사용됩니다. 

일단 평면 직교좌표계로 쓰여진 x,y 성분의 운동방정식은 아래와 같습니다.

, 

(f는 코리올리인자(2ΩsinΦ)이며 우리나라부근에서는 대략 10^-4값을 가집니다, F는 마찰력입니다)

둘사이의 약간의 비대칭성을 보이는 fv, -fu의 음수가 붙고 안붙고의 관계는 du/dt, dv/dt의 방향과 fv전향력, fu전향력의 방향과 관계된 양으로 fu에 -가 붙음은 쉽게 이해가 됩니다. 혹은 -2ΩXV의 벡터곱을 통해서도 알수있습니다. 

이식에서 x축항과 y축항이 - +로 서로 다름을 알수있습니다.

다시 논점으로 돌아와서, 지균풍은 위에서 설명했듯 마찰력이 없을때 나타나는 바람입니다. 따라서 위의 운동방정식에서 F항은 삭제가 됩니다. 그리고 du/dt와 dv/dt는 종관규모 운동에서 무시되어 전향력항과 기압경도력항만 남게됩니다. 즉,

,로 압축할수 있습니다.

지균평형은 대규모 온대 고,저기압계에 기압장과 속도장 사이의 근사적 관계를 나타내주는 하나의 진단적 표현입니다. 시간과는 무관하며 시간에 따른 어떠한 진전을 예측할수 없습니다. 따라서 진단적 관계식이라고 부릅니다. 

윗 식을 벡터형식으로 다시쓰면 

이렇게 되고, 언제든지 해당식의 성분들만 알면 Vg값을 구해낼수 있습니다. 이 지균풍은 적도에서 멀리 떨어진 대규모 운동에 있어서만 실제 바람장의 근사로 사용될수 있습니다. 그 이유는 적도와 가까운 지점에서는 f(코리올리인자)값이 작아져 지균근사에 해당하지 않는다는 점입니다. 지균근사에 해당하는지의 판단은 로스비 수로 할수 있는데 로스비수는 R=U/(fL)로 나타냅니다. 알기쉽게 표현하면 [원심력/전향력]규모 차이라고 보면되겠습니다. 지균풍에서는 전향력이 매우 중요하게 작용하므로 분모의 f가 큰상황이어야 합니다. 즉, 적도지방에서는 지균근사가 성립하기는 어렵다는 내용이 되겠습니다. 정확한 기준은 대략 로스비수가 0.1보다 작으면 지균근사에 해당한다고 말합니다. 완벽한 적도의 경우 f=0이므로 지균풍의 개념 그자체가 성립하지 않게됩니다. 

이러한 지균풍식은 등압좌표계에서는 좀더 쉽게 표현되는데요. 그것은 앞서의 포스팅에서 언급했던 정역학 평형식을 지균풍항에 적용하면 됩니다.

라는 식이 dp항에 들어가면 밀도항이 상쇄되어, 처럼 쓸수있게됩니다.

gdz는 지오퍼텐셜이며 Φ이렇게 하나로 표현하기도 합니다. g는 9.8m/s라는 정확한 단위입니다. 따라서 z가 변화하는데 이를 지오퍼텐셜미터라 부르게됩니다. 

이러한 지균풍은 기압경도력과 전향력이 완전히 평형되어있는 가상의 바람으로 정의됩니다. 대규모의 마찰이 작용하지 않는 상층 자유대기를 잘 표현한다고 볼수 있습니다. 바람의 형태는 등압선에 평행하게 나타납니다. 따라서 이러한 지균풍은 비발산풍의 형태를 가집니다. 다음과 같은 형태를 보면 

정확히 발산에 관해 0이됨을 알수있습니다. 그러나 f가 위도의 함수이므로 y축미분에 의해 아주아주 약한 발산만을 갖게됩니다. 

대한민국 수능시험에 지균풍에관한 함정으로 가장 잘나오는 것이 위도에따른 지균풍의 변화인데요. 위도가 낮을수록 지균풍은 매우 강합니다. 왜냐하면 f작기 때문이죠.

다음으로 지상풍에대해 알아보겠습니다.

지균풍이 대기상층의 마찰이 없는 자유대기의 바람을 말한다면 지상풍은 말그대로 지상과 가까운 지표의 바람의 흐름을 말합니다. 지표는 여러 요철들로 마찰이 발생합니다. 이 마찰의 점성은 바람을 감속시키게 합니다. 따라서 이 포스팅의 맨첫번째식에서 지균풍때와 달리 마찰력항을 유지시켜야합니다. 마찰력은 Fx=-ku, Fy=-ky의 형태로 쓸수 있습니다. k는 마찰계수입니다. 마찰력이란것이 물체의 속도와 비례하기 때문에 이러한 형태가 됩니다. 

, 

이러한 전향력, 기압경도력, 마찰력이 세힘이 평형을 이룬다면 du/dt, dv/dt항은 자연히 0이 될것입니다. 지균풍이 등압선에 평행한 형태로 나아가는 바람인 반면, 이 지상풍은 마찰력의 존재로 방향이 지균풍과는 달라집니다. 바람은 저기압으로 흐른다는 말을 들어보셨을겁니다. 바로 이 지상풍이 등압선의 방향에서 살짝 저기압쪽으로 편향된 바람입니다. 왜 저기압쪽으로 편향되는지를 설명하면, 마찰력의 역할은 속도의 감소에 있습니다. 속도가 감소한다면 전향력은 자연스럽게 줄어들게 됩니다. 왜냐하면 fv의 형태를 갖기 때문이죠. 따라서 줄어든 전향력과 마찰력이라는 새로운 존재의 힘이 당연히 영향을 받지않은 기압경도력과의 평형을 유지하기때문에 저기압쪽으로 편향됩니다. 일반적으로 해상에서는 편향되는 각도가 20도, 육상에서는 30도~40도입니다. 해상에서 편향각도가 작은 이유는 역시 물이라는 표면상태가 육지라는 표면상태보다 바람이라는 유체에게 끼치는 마찰이 더 적기 때문입니다. 

유체 중에서는 매우 작은 부분들이 서로 서로 압력을 행사하고 있습니다. 그러한 대기중의 압력을 기압이라 합니다. 유체의 매우 작은 부분에 운동을 일으키는 힘은 압력 그자체가 아닙니다. 공간적인 압력의 차이라고 볼수있습니다. 

그러한 압력차가 일으키는 힘을 기압경도력이라고 합니다. 

그럼 기압경도력을 유도해볼까요?

먼저 유체의 작은 부분을 생각해보겠습니다. 그 작은 부분의 오른쪽부분과 왼쪽부분에 작용하는 힘은 -p1ΔyΔz, p2ΔyΔz 일겁니다.

이를 통해 운동방정식을 세워보면, 

(단위는 N(뉴턴)단위 입니다. M은 질량, u는 x방향 속도, t는 시간, p는 압력입니다.)

여기서 입니다. 왜냐하면 밀도=질량/부피 이기때문이죠. 따라서 이를 위의 식에 대입을 해보겠습니다.

바로 이식이 기압경도력식이 됩니다. u방향이 아닌 일반적인 식으로 표현하려면 

이렇게 됩니다.

더 세련되게 표현하려면 그래디언트를 쓴표현으로 작성하면됩니다.

그래디언트란 윗식처럼 공간에대한 미분이라고 보시면 됩니다. 이를 적용하면,

처럼 간단하게 정리가 가능합니다.

x방향 기압경도력과 y방향 기압경도력을 합쳐서 수평기압경도력이라고 하며, 일반적인 대기과학에서 표현하는 기압경도력이 수평기압경도력에 해당합니다. 

또 z방향의 기압경도력은 수평기압경도력보다 10000배나 큽니다. 연직방향의 기압경도력이 큰이유는 중력에의해 지구 하부에 많은 공기들이 모여있고, 상부에는 적은 공기들이 모여있어서 기압에 많은 차이가 나기 때문입니다. 그러나 대규모의 공기의 흐름이 나타나지 않는 이유는 평상시 중력가속도와 연직기압경도력이 상쇄되어 정역학평형상태가 유지되기 때문입니다. 기압경도력은 전향력, 중력과 함께 대기중에 작용하는 가장 중요한 힘이고, 대기의 흐름을 파악할때 항상 고려되는 힘입니다.

그럼 정역학평형에 대해 알아보겠습니다. 

위에 잠깐 설명했듯, 정역학평형상태란 중력가속도와 연직기압경도력이 평형을 이루는 상황을 말합니다. 

이를 식으로 표현하면,

 , 

처럼 표현됩니다. 이는 여러 지구과학 교과서에도 소개되어있는 식입니다.