기체의 상태방정식과 열역학 1법칙

기체의 상태방정식은 기체의 압력 부피 밀도 온도등 여러가지 정보들의 관계를 의미있는 식의 형태로 나타낸 것이다. 일단 여기서 다룰 내용은 습윤공기가 아닌 건조공기의 내용이다. 대기에서의 수증기는 꽤 많은 의미를 갖는다. 물이 되면 비로 바뀌고 예보에도 중요한 요소가 된다. 그런데 이 수증기의 존재는 대기에서 일정하게 분포하지도 않으며 여러차이가 있고 열 전달에 용이하기 때문에 열역학 계산에서 매우 복잡한 모습을 보인다. 수증기의 함유 혹은 비함유 여부에 따라 열역학의 식들이 매우 다른 형태를 보인다. 쓸데없이 사족이 길었는데 일단은 기체의 상태방정식에 대해서 알아보도록 하겠다.  

고등학교의 화학2 시간에 이상기체상태방저식에 대해서 배운다. 이것은 pV=nR*T의 형태이다. 여기서 n은 몰수라는 것인데, 1몰이란 기체가 아보가드로수(6.02*10^23)만큼의 개수를 가질때 1몰이라 한다. 평소에 잘 쓰이는 단위는 아니고 화학에서 즐겨 쓰인다. 이 몰수는 질량/분자량 으로 표현될수 있다. 왜냐면 분자량이 기체가 아보가드로수만큼 있을때의 질량을 의미하기 때문이다. 다시 쓰면, pV=(m/M)R*T 인것이다. 여기서 대기과학에서는 보편기체상수 R*보다는 비기체상수 R을 자주 쓴다. 비기체상수는 특정 기체에 대한 기체상수이다. R=R*/M 이다. 또 m/V는 밀도이기때문에 ρ를 쓰기도 한다. 즉, p=ρRT로 간단하게 쓸수도 있다. 사실 이 식의 관계를 완전히 만족하는 가상적인 기체를 이상기체라고 한다. 실제기체는 완전하게 이 관계를 만족하지는 않으나 기상현상을 설명하는 범위에서는 충분한 정확도로 만족한다. 즉, 공기를 그냥 이상기체라고 취급할수 있다. 번외로 pV=NkT라고 쓰는 경우도 있는데 이는 볼츠만 상수k를 쓴경우이다. 그런데 대기과학에서는 p=ρRT가 제일 보편적으로 잘쓰인다. 다음으로 혼합기체상수를 구하는법을 알아보겠다. 사실 공기는 여러기체의 혼합기체이다. 따라서 평균분자량을 구해야 정확한 혼합기체상수를 구할수 있다. 평균분자량은 ∑m/(∑m/M) 이렇게 구한다. 건조공기의 분자량은 대략 28.97정도이며 건조공기의 기체상수는 287J/K/kg 이다. 습윤공기의 기체상수는 가온도를 구하는 것과 비슷한 과정을 거치는데, 가온도식 자체가 RdTv=RwT로부터 논의가 시작되므로 여기서 Rd/Rw = T/Tv 이기때문에 어차피 구하는 과정이 같아지는 것이다. 어쨌든 가온도식은 Tv=T(1+0.61q) 인데 여기서 아까 식에 의해 Rw=Rd(1+0.61q)가 되는 것이다. 따라서 해당 Rw는 측정하고자 하는 1kg의 공기속에 얼마나 많은 수증기가 들어있는지 여부에 따라 결정되는 것이다. 

다음으로 열역학 1법칙에 대해 알아보도록 하겠다. 열역학 1법칙은 에너지의 보존에관한 식이다. 열에너지가 사라지는 것이 아니며 일로 변환된다는 내용을 담고있다. 즉, 단위질량의 기체에 가해진 열에너지는 내부에너지의 증가(CvdT)와 기체의 체적증가에 따른 일에 사용된 에너지의 합과 같다. 그것의 결론부터 말하자면 dQ=CvdT+pdV, dQ=CpdT-Vdp 가된다. 원래 열역학 1법칙의 형태는 dQ=du+dw이다.  du는 내부에너지의 증가, dw는 일에 사용된 에너지이다. 내부에너지는 그 물질을 구성하는 분자와 원자의 운동에너지의 합이고, 절대온도에 비례하므로 du=CdT로 쓴다. C는 비열인데 Cv는 정적비열 Cp를 정압비열이라 한다. 크기는 Cp가 더크다. 왜냐하면 정적일때보다 정압일때 부피의 증가대문에 온도상승에 대한 필요에너지가 더 크기 때문이다. dw는 pdV의 형태로 쓰는데 이것의 차원은 [Force*Length]로 일의 양을 뜻한다. 

단위질량일때 pV=RT방정식에서 미분을 하면 pdV+Vdp=RdT의 형태가 된다. 또, pdV=RdT-Vdp가 구해진다. 이것을 대입하면 dQ=(Cv+R)dT - Vdp의 형태가 된다. 만약 정압일경우 (dp=0) dQ=(Cv+R)dT=CpdT가 된다. 따라서 Cv+R=Cp라는 결론을 내리게 된다.