건조기온감율, 이슬점감율, 상승응결고도

단열변화시 건조기온이 얼마나 감소하는지 알아보자. 일단 앞서 서술한 열역학 1법칙과 정역학평형식을 결합한다. 두식 dq=CpdT-αdp , dp=-ρgdz 를 결합하면 dq=CpdT+gdz 인데 단열변화이므로 dq=0이다. 즉, 식을 정리하면 -dT/dz = g/Cp 이다. 그리고 -dT/dz = γd 라고 하는데 이것이 바로 건조기온 감율이다. 대류권에서 보통 -10도/km 이다. 이를 통해 상승응결고도를 구할수 있는데, 이것은 이슬점 감율이 구해져야만 한다. 이슬점 감율은 건조단열감율보다 구하는 과정이 어렵다. 역시 뭔가 습기가 관련되어있다면 어렵다는 앞서의 내용이 여기서 드러나는 것이다. 이슬점온도는 불포화공기의 수증기압을 포화수증기압으로 고려했을 때의 공기의 온도이다. 이 관계를 수증기압과 이슬점온도와의 관계식으로 파악할 수 있다. 이슬점 온도에 관한 식 e=esw(Td)를 고도 z로 미분하면 de/dz = (desw/dT)(dT/dz) 여기서 dT/dz만 놓고 넘기면 dT/dz= (desw/dz)/(desw/dTd) 여기의 dT/dz는 고도에 따라 감소하는 음(-)의 값을 가진다는 것을 알 수 있는데, 고도증가에 따른 온도감소로 esw값이 감소하여, desw/dz값이 음이 되기 때문이다. 말을 이어가기 전에 혼합비에 대해 알아둬야 하는데 혼합비는 주어진 대기의 체적에 포함된 건조공기의 질량에 대한 수증기 질량의비를 말한다. 혼합비w = mv/md = ρv/ρd 인것이다. 상태방정식의 관계를 이용하면 w = (e/pd)(Rd/Rv) 인데 여기서 Rd/Rv = Mv/Md 이다. 따라서 0.622 값을 갖게되며, ε로 표현한다. 결과적으로 w = ε(e/(p-e)) 로 표현되는 것이다. 여기에서 e로 정리를 하게되면 e=(w/(w+ε))p 이를 z에 대해 미분하면 desw/dz=(w/(w+ε))(dp/dz)=(esw/p)(dp/dz)가 되는것이다. 위의 dT/dz 식과 적절히 결합하면 (1/esw)(desw/dTd)(dTd/dz) = (1/p)(dp/dz)가 된다. 

앞의 (1/esw)(desw/dTd)는 클라우시스 클레이페론 식을 이용할건데 일단 그 C-C방정식에 대해 알아보면 깁스 상에너지 변화에서 유도 된다. 깁스 에너지는 G=H-TS 로 표현된다. 헬름홀츠 에너지는 F=U-TS로 표현된다. 헬름홀츠 에너지에 PV를 더해주면 F+PV가 되는데 이것이 다시 깁스에너지가 된다. G=F+PV = U-TS+PV = H-TS 가 된다. 상변화의 경우에는 상과 상사이의 경계에서 G1=G2 또는 dG1=dG2 가 성립해야 한다. 즉, 상1과 상2의 깁스에너지가 같거나 그 변화가 같아야 한다는 뜻이다.  g=U+PV-TS를 미분하면 dg = dU+pdV+Vdp-Tds-sdT 인데 dU+pdV = dQ이고 -Tds=dQ (엔트로피)이므로 남는 것을 취하면 dg = -sdT + Vdp이다. dg1=dg2 이므로 -s1dT+α1dp=-s2dT+α2dp. 즉, dp/dT = (s2-s1)/(α2-α1) = △s/(α2-α1) 이다. △s=△h/T = L/T가 된다. dp/dT = L/T(α2-α1)가 된다. 이것이바로 클라우시스 클레이페론 식이다. 여기서 p를 e로 바꿔준다면 desw/dT = L/T(αv-αw)이다. 그러나 αv>>αw 이며 αv=RvT/esw 인것을 생각해보면 desw/dT = (esw/T^2)(Lwv/Rv) 이다. 이것은 윗단락 마지막 식의 일부와 비슷하다 그 식과 합쳐보면 L/(RvTd^2)(dTd/dz)=(1/p)(dp/dz)이다. 그런데 여기에 정역학평형식까지 적용을 한다면 (1/p)(dp/dz)=-g/(RdT) 이다. 즉 이슬점감율을 -dTd/dz = (g/εL)(Td^2/T) 이다. 그런데 g/εL은 온도에 거의 무관하며 6.3*10^-6/m 값을 갖는다. Td^2/T는 온도값에 의존하긴 하지만 대류권에서 그 차이는 작다. 즉, 대략 T의 스케일이므로 300K을 곱해주면 된다. 즉, 이슬점 감율은 1.7~1.9도/km가 된다. 그러나 대부분 시험에서는 2도정도로 근사한다. 

위의 두개를 통해 상승응결고도를 알아보자. T-γZ=Td-γdZ 이다. Z에대해 정리하면 Z(γ-γd)=T-Td 이다. 1/(γ-γd)는 125m/도 라는 값을 갖게 되는데, 이를 정리하면 Z=125(T-Td)가 된다. 이 계산에서 나온 고도로 올라갈때야 비로소 지표에서 올라간 수증기가 응결되는 것이다.