기체의 단열변화, 엔트로피, 온위

기체가 단열적(바깥과 열에너지의 출입 없는)으로 변화하는 경우 온도, 압력, 비부피와의 관계를 기체의 단열변화에 대한 포아송식이라 한다. 단위질량의 기체에 대한 열역학 1법칙은 dq=CpdT-αdp이다. T,α,p는 온도 비부피 압력이며, Cp는 정압비열이다. dq는 단위질량의 기체에 가해진 열에너지이다. 단열변화의 경우 dq단위빌량의 기체에 가해진 열에너지는 0이 된다. 즉, 0=CpdT-αdp이다. 여기서 기체방정식 pα = RT의 α=RT/p 를 위의 열역학1법칙 식에 대입하면 CpdT=RT(dp/p)가 된다. 여기서 T로 나눠주면 Cp(dT/T)=R(dp/p)인데 여기서 R/Cp를 간단하게 x라 표현하기도 한다. 또 dT/T, dp/p를 변환하면 d(lnT), d(lnp)로 바꿔서 쓸수 있다. 즉, 정리하면 d(lnT) = d(lnp^x) 인 것이다. 양변에 인테그랄을 취해주고 e^를 첨가해주면 T=p^x가 된다. 정리하면 Tp^-x=K이다. 이것은 T와 p만의 관계인데 p와 α와의 관계를 얻으려면 pα=RT 를 T에 대입해준다. (pα/R)p^-x=K이다. R을 소거해주고 정리하면 αp^(1-R/Cp)=K이다. 위 지수부분만 정리하면 1-R/Cp = (Cp-R)/Cp = Cv/Cp 이다. 그런데 이것의 역수인 Cp/Cv를 Υ라 표현한다. 즉, 다시 정리하면 pα^Υ=K으로 정리되는 것이다. 그렇다면 마지막 남은 T와 α와의 관계에대한 식을 구해보려면 pα=RT를 pα^Υ=K에 대입해야한다. (RT/α)α^Υ=K 이므로 Tα^(Υ-1)이다. 정리하자면 Tp^-x=K,  pα^Υ=K,  Tα^(Υ-1)=K 세가지 형태가 된다. 이것이 바로 단열변화에 대한 포아송 식이다. x값은 무차원이며 0.286, Υ값은 무차원이며 1.4값, Υ-1값은 무차원이며 0.4값을 갖는다. 

이 포아송식으로부터 온위의 식을 구할수 있다. 기상에서의 온위는 "어떤 고도의 건조 공기덩이를 1000 hPa의 기압고도로 단열적으로 이동시켰을 때 갖는 온도"로 정의된다. 즉 단열적으로 이동시킨다는 점에서 포아송식으로 활용하면, 이 온위의 식을 구할수 있는 것이다. 먼저 단열변화시에 1000hpa 지상의 값을 Θ(1000)^-x 이라하고 상층의 온위를 구하고자 하는 고도의 건조공기의 온도와 압력을 Tp^-x라 하자. 이것은 변하지 않는 값이므로 둘사이에 등호가 성립될 수 있다. 즉,  Θ(1000)^-x = Tp^-x 인 것이다. 온위인 Θ에 관해 정리해주면 Θ=T(1000/p)^x 이다. 이것이 바로 온위의 관계식이 된다. 직접 계산을 해보도록 하자. 500hpa에 있는 공기의 온도가 0도 일때, 이공기의 온위는 몇일까? 0도를 절대온도 273K로 바꿔주고, 계산해보면 Θ=273(2)^0.286 = 333K 이다.  즉, 온위는 대략 60도가 된다. 이 온위 식으로 아주 여러가지 응용을 할 수있는데 그 한가지는 실제기온감율과 건조기온감율의 비교를 통해 안정도를 판별할 수있는 식을 유도 할수있다는 것이다. Θ(1000)^-x = Tp^-x 에 ln을 취하면 lnΘ + C = lnT -x lnp 이다. 이 식을 미분하면 dΘ/Θ = dT/T - xdp/p 이다. 여기서 dp에 정역학평형식 dp = -ρgdz를 대입해보면, dΘ/Θ = dT/T + x(ρgdz)/p 이다. 그런데 p를 ρRT로 쓸수 있으므로 다시 정리하면  dΘ/Θ = dT/T + (g/Cp)(dz/T) 양변에 (T/dz)를 곱해주면 (T/Θ)dΘ/dz= dT/dz + g/Cp 이다. -dT/dz 가 실제 기온의 감율로 볼수있다. 다시 정리하면  (T/Θ)dΘ/dz = (Γd-Γ)이다. dΘ/dz가 양수인 경우는 Γd-Γ>0 인경우인데 건조기온감율이 실제기온감율보다 큰경우이다. 따라서 이경우는 안정이다. 안정한경우 고도에 따라 온위가 증가함을 알 수있다. dΘ/dz가 음수인 경우는 Γd-Γ<0 인경우인데 건조기온감율이 실제기온감율보다 작은경우이다. 따라서 이경우는 불안정이다. 

직교좌표에서도 기온의 단열변화와 관련된 식을 유도할 수있다. 단열변화에서 기압의 변화를 열역학평형식을 써서 상승기류 w로 표현하고, 기온의 시간편미분을 구하는 식이다. 먼저 열역학 1법칙에서 CpdT - αdp=0 이다. 이로부터 dT/dt- (α/Cp)(dp/dt) = dT/dt - (α/Cp)(dp/dz)(dz/dt) 로 쓸수 있다. dz/dt=w로 정의된다. 또한 dp/dz = -ρg 이다. 정리하면 dT/dz + (g/Cp)w = dT/dt + wΓd =0 인것이다. 이를 오일러 식으로 표현하면 ∂T/∂t + v*∇(수평)T + w(∂T/∂z) + wΓd =0이다. Γ=-dT/dz 이므로, 정리하면 ∂T/∂t = -v*∇(수평)T - w(Γd-Γ) 이다.  v*∇(수평)T을 온도의 수평이류항이라 한다. -v*∇(수평)T>0이면 온난이류,  -v*∇(수평)T<0이면 한랭이류이다. 

다음으로 기체의 엔트로피와 온위에대해 알아보겟다. 엔트로피는 dS = dQ/T 로 정의된다. 즉, dS = Cp(dT/T) - R(dp/p) = d(ln(T^Cp)(p^-R)) = Cp(dlnΘ)가 된다. 이식으로 볼때 단열과정에서 S는 보존되는 것을 알수있다. 또 일반적으로 가역변화에서는 엔트로피 S는 보존된다. 그러나 열전도와 열확산등의 비가역 변화에서는 S는 증가한다. 이것을 열역학2법칙이라 한다.