자연과학

물체의 회전은 초당 몇라디안을 움직이는가와 같은 각속도로 표현이 되나, 유체의 회전의 경우에는 소용돌이도와 순환이라는 것을 도입한다. 순환과 소용돌이도는 유체 회전의 두가지 중요한 측도이다. 순환은 스칼라 적분량으로 유체의 유한면적에 대한 회전의 거시적 측도이며, 소용돌이도는 유체 내의 어느 점에서의 회전의 미시적 측도의 벡터장이다. 흔히 강체에서 생각하는 각속도의 개념과는 다른, 유체에서의 [회전]을 나타내는 어떤 물리량이라고 보는 것이 합리적이라고 본다. 

먼저 순환의 정의는 유체내의 폐곡선에 대한 국지적 접선 방향의 속도 벡터 성분에 대한 선적분이다.

쉽게말해 어떤 폐곡선을 가정했을때 그 곡선을 계속 따라가면서 해당위치에서의 속도와 그 속도가 유지되는 길이를 곱한값을 다 더한것이다. 만약 원모양의 곡선을 가정했고 해당 원을 유체가 v라는 등속으로 원운동한다면 이 원의 순환은 2πRV이다. 그런데 V는 Rω로 표현할수 있으므로 순환은 2ωπR^2이된다. 즉, C=2ωπR^2이며, 2ω=C/πR^2. 이처럼 순환은 각속도를 쉽게 정의할 수 없는 유체회선의 특징을 결정하는데 쓰인다. 

방금 유도한 이식으로 부터 우리는 순환/면적이 어떤 의미있는 양을 도출할수도 있을거란 생각을 할수 있다. 

이에대한 접근을 하기위해 첫 정의에 스토크스의 정리를 적용한다. 

이 식에 의해 ∇xV = C/A라고 정의할수 있게되며, 여기서 ∇xV가 소용돌이도가 된다. 이러한 순환은 DC/Dt로부터 나타나는 솔레노이드항을 유도할수 있는데 순압유체에서의 밀도는 기압의 함수이므로, 솔레노이드항이 0이다. 따라서 순압유체에서 절대순환이 보존된다. 유체의 이결과는 강체의 각운동량에 해당되는 것이다. 

소용돌이도는 그자체로서 어떤 값을 가지나, 우리가 회전하는 지구라는곳 위에서 생활하고 있기때문에 지구의 움직임에 의해 나타나는 것과 실제 우리 눈에 보이는 움직임의 것을 고려해줘야 한다. 전자의 경우를 행성소용돌이도, 후자의 경우를 상대소용돌이도라 한다. 둘을 합친 소용돌이를 절대소용돌이도라 한다. 이 절대소용돌이도는 위에서 이야기 했듯 순압유체에서 보존되는 값이다. 먼저 행성소용돌이도는 위의 원판의 경우에서 2ω라고 유도를 했으나 지구의 경우 구체라서 이것이 그대로 받아들여지려면 북극의경우만 한정되어야 한다. 즉, 위도별로 해당지역에 맞는 소용돌이도가 되기 위해서는 2ωsinΦ가 되어야한다. 이는 f라고 불리는 코리올리인자를 말한다. 즉, f가 행성소용돌이도가 된다. 상대소용돌이도는 ζ로 표현되는데 지표에대한 회전이라고 보면된다. 

소용돌이도의 방향은 +(양)의 경우 저기압성 회전, -(음)의 경우 고기압성회전을 보인다. 즉, 대규모의 양의 소용돌이 지역은 저기압성 폭풍우와 연관되어 발달하는 경향이 있다. 즉, 상대소용돌이도의 분포는 기상분석을 위한 강력한 진단자이다. 절대 소용돌이도는 중층 대류권 운동에서 보존된다. 이러한 보존성은 간단한 역학 예보 기술의 기초가 된다. 자연좌표에서 소용돌이도는 약간의 차이가 있는데 이는 -∂V/∂n + V/R로 표현된다. 앞의 항은 시어소용돌이도이며 뒤의 것은 곡률 소용돌이도이다. 유체가 지나는 관이 오른쪽으로 휘어져있다고 가정할때, 유체의 왼쪽으로 갈수록 속도가 느려진다면 곡률과 시어가 반대 방향이 되어 이 전체 소용돌이도는 0이라고 볼수있다. 순환으로부터 소용돌이도 방정식을 구할 수 있는데, 이를 유도하면 아래와 같다. 

C=ZA=일정. AdZ+ZdA=0, dZ+ZdA/A=0, dZ/dt+Z(dA/dt)A=0, dZ/dt+ZdivV=0. 번외로 면적에대한 소용돌이도의 이중적분은 순환이라 표현되지만, 면적에 대한 발산은 플럭스라 표현된다. 

연속방정식은 질량보존법칙의 다른형태라고 볼수있다. 들어온양과 나간양의 차이를 계산해보면 같아야 한다는 것이다. 당연히 이는 대기 흐름이 비압축성이라는 전제를 깔고 시작된다. 이 연속방정식을 이용하면 상승류의 진단을 할수있다. 왜냐하면 수평으로 들어온양보다 수평으로 나간양이 적으면 그것은 위쪽 혹은 아래로 이동했다는 것을 뜻하기 때문이다. 

연속방정식의 형태는 다이버젼스V = 0의 형태이다. 이 식의 유도는 오일러리안적인 방법과 라그랑지안적인 방법이 있는데 오일러식은 공간의 어떤 절대적인 공간에서 유체의 유입과 유출을 따진다. 라그랑지안은 관찰대상인 유체를 따라가는 방법이다. 유체의 흐름을 따라서 유체가 보존된다는 방법이다. 

경도풍은 등압선과 평행하게 운동하는 것은 지균풍과 같으나 등압선이 원형이라는 점이 지균풍과 다르다. 등압선이 원형이므로 생겨나는 필연적인 원심력을 고려해야만 한다. 경도풍은 태풍과 같은 동심원상의 원형 등압선을 생각하면 쉽다. 물론 이 바람은 지균풍과 마찬가지로 가상의 바람이다. 식은 처음 지균풍 운동방정식에서 원심력항이 추가되기만 하면 된다. 

(R: 동경방향의 거리)

R은 원래 스칼라 값으로 부호가 없어야 정상이다. 그러나 R이라는 값은 자연좌표계의 n방향성분의 스칼라값인점과 좌,우항의 변동에서 생겨나는 -, +부호가 n방향축에서 방향을 의미한다는 점을 고려할때 R값에는 부호가 있음이 바람직하다. 즉. 저기압성 R은 +(양), 고기압성R은 -(음)이 된다. 위의 식은 저기압성 R의 부호가 +인 경우에 적용되는 식이다. 만약 고기압성 경도풍의 경우 원심력항의 부호가 +가 되면 된다. 

위의 경도풍식은 자세히 관찰하면 V2, V 라는 미지수가 있는 것으로 유추할때 V에 대한 2차방정식이란것을 알수 있다. 즉, 이 식을 근해 공식으로 풀으면 V라는 값이 나올것이고 그것이 경도풍속이 되는 것이다. 

각종 시험을 준비중이라면 이 경도풍속에 관한 식정도는 암기를 하는게 좋다. 이 식에서 V는 음수를 가질수 없기때문에 수학적으로 가능한 모든 경우의수가 모두 과학적으로 의미를 갖는 것은 아니다. 일단 R이 +인 경우를 생각하면 우변의 +-의 근을 선택할때 +를 선택해야만 한다. -를 선택할경우 우변모두 -가 되므로 비물리적인 식이된다. R이 -인경우 우변의 +-의 근이 어떤것이 되어도 상관이 없으나 +인 경우 V가 무조건 -(fR/2) 보다 커야한다는 이상한 고기압이 되어버린다. 따라서 -근을 택하는 것이 정상 고기압흐름을 만든다. 여러상황을 종합하면 비물리적인 경우를 제외하고 이상저기압, 이상고기압, 정상저기압, 정상고기압 네개의 경우를 찾을 수 있다. 이중에 정상저기압을 제외한 세가지 상황이 전부 시계방향의 흐름을 보인다는 것이 특이한 점이다. 세가지 힘의 평형관계에서 어느쪽이든 원심력이 큰 경우를 보이는 경우가 [이상]이라는 수식어를 붙인다. 사이클론성 흐름의 판단기준은 fR의 부호이다. fR의 부호가 양수인경우 사이클론성흐름, fR의 부호가 음수인 경우 안티사이클론성흐름을 보인다. 이는 어느 반구이든 조건은 같다. 

지균풍과 경도풍의 크기를 비교하는 내용이 중요하게 다뤄지는데, 그것을 알아보도록 하겠다. 경도풍식을 지균풍을 넣어서 표현하면 아래와 같다. 

거기서 V로 나눠주고 식을 정리하면, 위와같은 식이 된다. 정상적인 저기압성 흐름(fR>0)인 경우 Vg는 V보다 더 큰 반면, 정상적인 고기압성흐름(fR<0)인 경우 Vg는 V보다 작다. 그러므로 기압경도력이 같은 상황에서 지균풍은 저기압성 경도풍보단 크고, 고기압성 경도풍보다는 작다. 또한 고기압성 경도풍은 속도의 제한이 걸리는데 이는 루트안의 식을 정리하면 R이 작아질때 기압경도력도 작아져야한다는 결론이 나오기 때문이다. 고기압부근에서 절대적인 바람의 속도가 작은 이유는 여기에 있다. 

다음으로 관성풍을 알아보도록 하겠다. 관성류는 기압경도력과 같은 외력이 작용하지 않는 경우, 전향력과 원심력이 평형을 이룬 상태에서 운동을 하는 것을 말한다. 

 이러한 식이 성립되는데 관성류는 북반구에서는 전향력의 영향으로 시계방향, 남반구에서는 반시계방향을 나타낸다. 즉, 북반구에서 R은 음수를 나타낸다. 이러한 것을 바탕으로 식을 정리하면, 

이된다. 오메가는 지구의 자전각속도이다. 1/ΩsinΦ 이 해당위도의 푸코진자의 주기이므로 관성주기는 푸코진자 주기의 1/2배라고 말할수 있다. 이와 같은 관성진동은 종종 해양에서 실제로 관측된다. 

다음으로 선형풍을 알아보도록 하겠다. 선형풍은 경도풍관계에서 전향력항이 빠진것이다. 즉, 토네이도와 같이 강한 저기압에서 유발되는 평형상태에 있는 가상적인 바람을 말한다. 전향력은 작은 규모에서는 큰 효과가없다. 즉, 이 선형풍은 매우 좁은 지역에서 발생되는 원형의 바람이라고 볼수 있다. 경도풍식에서 전향력만 제외하면 되므로 식은 생략하겠다. 다만 이 선형풍의 경우는 V가 양이나 음이 되더라도 V^2으로서 평형이 되므로 고기압성, 저기압성 어느 쪽의 순환이라도 평형 상태가 될 수 있다. 

지균풍의 정의는 두산백과의 글을 인용하여 쓰면 "지구의 자전으로 인한 전향력과 기압경도력이 균형이 잡혔을 때 부는 바람으로 지형풍이라고도 한다. 실제의 바람이 지균풍과 어느 정도 차이를 보이는가는 일기변화를 고찰하는 데 중요한 요건이 된다."입니다. 그러나 여기에 첨언을 하자면 마찰력이 없는 상태여야 한다는 점입니다. 또 기압의 수평분포는 주어져야 도출이 가능한 양입니다. 대규모장의 풍속분포를 기압분포에 의해 표현하는 식으로도 사용됩니다. 

일단 평면 직교좌표계로 쓰여진 x,y 성분의 운동방정식은 아래와 같습니다.

, 

(f는 코리올리인자(2ΩsinΦ)이며 우리나라부근에서는 대략 10^-4값을 가집니다, F는 마찰력입니다)

둘사이의 약간의 비대칭성을 보이는 fv, -fu의 음수가 붙고 안붙고의 관계는 du/dt, dv/dt의 방향과 fv전향력, fu전향력의 방향과 관계된 양으로 fu에 -가 붙음은 쉽게 이해가 됩니다. 혹은 -2ΩXV의 벡터곱을 통해서도 알수있습니다. 

이식에서 x축항과 y축항이 - +로 서로 다름을 알수있습니다.

다시 논점으로 돌아와서, 지균풍은 위에서 설명했듯 마찰력이 없을때 나타나는 바람입니다. 따라서 위의 운동방정식에서 F항은 삭제가 됩니다. 그리고 du/dt와 dv/dt는 종관규모 운동에서 무시되어 전향력항과 기압경도력항만 남게됩니다. 즉,

,로 압축할수 있습니다.

지균평형은 대규모 온대 고,저기압계에 기압장과 속도장 사이의 근사적 관계를 나타내주는 하나의 진단적 표현입니다. 시간과는 무관하며 시간에 따른 어떠한 진전을 예측할수 없습니다. 따라서 진단적 관계식이라고 부릅니다. 

윗 식을 벡터형식으로 다시쓰면 

이렇게 되고, 언제든지 해당식의 성분들만 알면 Vg값을 구해낼수 있습니다. 이 지균풍은 적도에서 멀리 떨어진 대규모 운동에 있어서만 실제 바람장의 근사로 사용될수 있습니다. 그 이유는 적도와 가까운 지점에서는 f(코리올리인자)값이 작아져 지균근사에 해당하지 않는다는 점입니다. 지균근사에 해당하는지의 판단은 로스비 수로 할수 있는데 로스비수는 R=U/(fL)로 나타냅니다. 알기쉽게 표현하면 [원심력/전향력]규모 차이라고 보면되겠습니다. 지균풍에서는 전향력이 매우 중요하게 작용하므로 분모의 f가 큰상황이어야 합니다. 즉, 적도지방에서는 지균근사가 성립하기는 어렵다는 내용이 되겠습니다. 정확한 기준은 대략 로스비수가 0.1보다 작으면 지균근사에 해당한다고 말합니다. 완벽한 적도의 경우 f=0이므로 지균풍의 개념 그자체가 성립하지 않게됩니다. 

이러한 지균풍식은 등압좌표계에서는 좀더 쉽게 표현되는데요. 그것은 앞서의 포스팅에서 언급했던 정역학 평형식을 지균풍항에 적용하면 됩니다.

라는 식이 dp항에 들어가면 밀도항이 상쇄되어, 처럼 쓸수있게됩니다.

gdz는 지오퍼텐셜이며 Φ이렇게 하나로 표현하기도 합니다. g는 9.8m/s라는 정확한 단위입니다. 따라서 z가 변화하는데 이를 지오퍼텐셜미터라 부르게됩니다. 

이러한 지균풍은 기압경도력과 전향력이 완전히 평형되어있는 가상의 바람으로 정의됩니다. 대규모의 마찰이 작용하지 않는 상층 자유대기를 잘 표현한다고 볼수 있습니다. 바람의 형태는 등압선에 평행하게 나타납니다. 따라서 이러한 지균풍은 비발산풍의 형태를 가집니다. 다음과 같은 형태를 보면 

정확히 발산에 관해 0이됨을 알수있습니다. 그러나 f가 위도의 함수이므로 y축미분에 의해 아주아주 약한 발산만을 갖게됩니다. 

대한민국 수능시험에 지균풍에관한 함정으로 가장 잘나오는 것이 위도에따른 지균풍의 변화인데요. 위도가 낮을수록 지균풍은 매우 강합니다. 왜냐하면 f작기 때문이죠.

다음으로 지상풍에대해 알아보겠습니다.

지균풍이 대기상층의 마찰이 없는 자유대기의 바람을 말한다면 지상풍은 말그대로 지상과 가까운 지표의 바람의 흐름을 말합니다. 지표는 여러 요철들로 마찰이 발생합니다. 이 마찰의 점성은 바람을 감속시키게 합니다. 따라서 이 포스팅의 맨첫번째식에서 지균풍때와 달리 마찰력항을 유지시켜야합니다. 마찰력은 Fx=-ku, Fy=-ky의 형태로 쓸수 있습니다. k는 마찰계수입니다. 마찰력이란것이 물체의 속도와 비례하기 때문에 이러한 형태가 됩니다. 

, 

이러한 전향력, 기압경도력, 마찰력이 세힘이 평형을 이룬다면 du/dt, dv/dt항은 자연히 0이 될것입니다. 지균풍이 등압선에 평행한 형태로 나아가는 바람인 반면, 이 지상풍은 마찰력의 존재로 방향이 지균풍과는 달라집니다. 바람은 저기압으로 흐른다는 말을 들어보셨을겁니다. 바로 이 지상풍이 등압선의 방향에서 살짝 저기압쪽으로 편향된 바람입니다. 왜 저기압쪽으로 편향되는지를 설명하면, 마찰력의 역할은 속도의 감소에 있습니다. 속도가 감소한다면 전향력은 자연스럽게 줄어들게 됩니다. 왜냐하면 fv의 형태를 갖기 때문이죠. 따라서 줄어든 전향력과 마찰력이라는 새로운 존재의 힘이 당연히 영향을 받지않은 기압경도력과의 평형을 유지하기때문에 저기압쪽으로 편향됩니다. 일반적으로 해상에서는 편향되는 각도가 20도, 육상에서는 30도~40도입니다. 해상에서 편향각도가 작은 이유는 역시 물이라는 표면상태가 육지라는 표면상태보다 바람이라는 유체에게 끼치는 마찰이 더 적기 때문입니다.